已知α1=(1，3，5，一1)T，α2=(2，7，α，4)T，α3=(5，17，一1，7)T，当α=3时，证明α1,α2,α3,α4可表示任一个4维列向量．

admin2014-02-06 44

问题已知α₁=(1，3，5，一1)^T，α₂=(2，7，α，4)^T，α₃=(5，17，一1，7)^T，
当α=3时，证明α₁,α₂,α₃,α₄可表示任一个4维列向量．

选项

答案由于[*]所以x₁α₁+x₂α₂+x₄α₃+X4α₄=α恒有解，即任一4维列向量必可由α₁,α₂,α₃,α₄线性表出．或者由(I)知α=3时，α₁,α₂,α₃必线性无关，那么：若k₁α₁+k₂α₂+k₃α₃+k₄α₄=0，用α₄^T左乘上式两端并利用α₄^Tα₁=α₄^Tα₂=α₄^Tα₃=0，有k₄α₄^Tα₄=0，又α₄≠0，故必有k₄=0．于是k₁α₁+k₂α₂+k₃α₃=0．由α₁,α₂,α₃线性尢关知必有k₁=0，k₂=0，k₃=0，从而α₁,α₂,α₃,α₄必线性无关．而5个4维列向量必线性相关，因此任一个4维列向量都可由α₁,α₂,α₃,α₄线件表出．

解析

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考研数学三

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已知α1=(1，3，5，一1)T，α2=(2，7，α，4)T，α3=(5，17，一1，7)T，当α=3时，证明α1,α2,α3,α4可表示任一个4维列向量．

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