2. 考研
  3. 设f(χ)在[0，1]上连续，且f(χ)＜1，证明：2χ－∫0χf(t)dt＝1在(0，1)有且仅有一个根．

设f(χ)在[0，1]上连续，且f(χ)＜1，证明：2χ－∫0χf(t)dt＝1在(0，1)有且仅有一个根．

admin2017-09-15  32
问题 设f(χ)在[0，1]上连续，且f(χ)＜1，证明：2χ－∫0χf(t)dt＝1在(0，1)有且仅有一个根．
选项
答案令φ(χ)＝2χ－∫0χf(t)dt－1，φ(0)＝－1，φ(1)＝1－∫01f(t)dt， 因为f(χ)＜1，所以∫01(t)dt＜1，从而φ(0)φ(1)＜0， 由零点定理，存在c∈(0，1)，使得φ(c)＝0． 因为φ′(χ)＝2－f(χ)＞0，所以φ(χ)在[0，1]上单调增加，故方程2χ－∫0χf(t)dt＝1有且仅有一个根．
解析
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考研数学二

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