设A为m×n矩阵，B为n×p矩阵，证明：矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是r(A)=r(A┆B)．

admin2017-07-26 40

问题设A为m×n矩阵，B为n×p矩阵，证明：矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是r(A)=r(A┆B)．

选项

答案设矩阵A，X和B按列分块为 A=[α₁，α₂，…，α_n]， X=[x₁，x₂，…，x_p]， B=[β₁，β₂，…，β_p]，则AX=A[x₁，x₂，…，x_p]=[Ax₁，Ax₂，…，Ax_p]，故AX=B可以写成 AX_j=β_j (j=1，2，…，p)，所以，矩阵方程AX=B有解 →线性方程组AX_j=β有解(j=1，2，…，p) →向量β_j可由A的列向量组α₁，α₂，…，α_n线性表出 →向量组α₁，α₂，…，α_n与向量组α₁，α₂，…，α_n，β₁，β₂，…，β_p等价 →r(α₁，α₂，…，α_n)=r(α₁，α₂，…，α_n，β₁，β₂，…，β_p) →r(A)=r(A┆B)．

解析

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考研数学三

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