已知二次型f(x1，x2，x3)=(1一a)x12+(1一a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2。求正交变换x=Qy，把f(x1，x2，x3)化为标准形；

admin2019-04-22 54

问题已知二次型f(x₁，x₂，x₃)=(1一a)x₁²+(1一a)x₂²+2x₃²+2(1+a)x₁x₂的秩为2。
求正交变换x=Qy，把f(x₁，x₂，x₃)化为标准形；

选项

答案由(I)中结论a=0，则 [*] 由特征多项式 [*] 得矩阵A的特征值λ₁=λ₂=2，λ₃=0。当λ=2，由(2E—A)x=0得特征向量α₁=(1，1，0)^T，α₂=(0，0，1)^T。当λ=0，由(OE—A)x=0得特征向量α₃=(1，一1，0)^T。容易看出α₁,α₂,α₃已两两正交，故只需将它们单位化： [*] 那么令Q=(γ₁，γ₂，γ₃)=[*] 则在正交变换X=Q)，下，二次型f(x₁，x₂，x₃)化为标准形f(x₁，x₂，x₃)=x^TAx=y^TAy=2y₂²+2y₂²。

解析

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