2. 考研
  3. 设f（x）为[—a，a]上的连续偶函数且f（x）＞0，令F（x）=∫—aa|x—t|f（t）dt。 （Ⅰ）证明F’（x）单调增加； （Ⅱ）当x取何值时，F（x）取最小值； （Ⅲ）当F（x）的最小值为f（a）—a2—1时，求函数f（x）。

设f（x）为[—a，a]上的连续偶函数且f（x）＞0，令F（x）=∫—aa|x—t|f（t）dt。 （Ⅰ）证明F’（x）单调增加； （Ⅱ）当x取何值时，F（x）取最小值； （Ⅲ）当F（x）的最小值为f（a）—a2—1时，求函数f（x）。

admin2017-12-29  53
问题 设f（x）为[—a，a]上的连续偶函数且f（x）＞0，令F（x）=∫—aa|x—t|f（t）dt。
（Ⅰ）证明F’（x）单调增加；
（Ⅱ）当x取何值时，F（x）取最小值；
（Ⅲ）当F（x）的最小值为f（a）—a2—1时，求函数f（x）。
选项
答案（Ⅰ）F（x）=∫—aa|x一t|f（t）dt=∫—ax（x一t）f（t）dt+∫xa（t一x）f（t）dt =x∫—axf（t）dt一∫—axtf（t）dt+∫xatf（t）dt — x∫xaf（t）dt =x∫—axf（x）dt一∫—axtf（t）dt —∫axtf（t）dt+x∫axf（t）dt， F’（x）=f（t）dt+xf（x）一xf（x）一xf（x）+ ∫axf（t）dt+xf（x）=∫—axf（t）dt一∫xaf（t）dt。 所以F"（x）=2f（x）＞0，因此F"（x）为单调增加的函数。 （Ⅱ）因为F’（0）=∫—a0f（x）dx一∫0af（x）dx，且f（x）为偶函数，所以F’（0）=0，又因为F"（0）＞ 0，所以x=0为F（x）的唯一极小值点，也为最小值点，且最小值为 F（0）=∫—aa|t|（t）dt=2∫0atf（t）dt。 （Ⅲ）由2∫0atf（t）dt= f（a）一a2—1，两边求导得 2af（a）=f’（a）一2a， 于是 f’（x）—2xf（x）=2x， 解得 f（x）=[∫2xe—∫2xdxdx+C]e—∫2xdx=Cex2—1。 在2∫0atf（t）dt=f（a）一a2—1中令a=0得f（0）=1，则C=2，于是 f（x）= 2ex2—1。
解析
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考研数学三

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