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设A为n阶矩阵． 已知β为n维非零列向量，若存在正整数k，使得Akβ≠0，但Ak+1β=0，则向量组β，Aβ，A2β，…，Akβ线性无关；
设A为n阶矩阵． 已知β为n维非零列向量，若存在正整数k，使得Akβ≠0，但Ak+1β=0，则向量组β，Aβ，A2β，…，Akβ线性无关；
admin
2017-06-14
19
问题
设A为n阶矩阵．
已知β为n维非零列向量，若存在正整数k，使得A
k
β≠0，但A
k+1
β=0，则向量组β，Aβ，A
2
β，…，A
k
β线性无关；
选项
答案
设 x
0
β+x
1
Aβ+x
2
A
2
β+…+x
k
A
k
β=0， 上式两边左乘矩阵A
k
，由A
k+1
β=0，A
k+2
β=A(A
k+1
β)=A．0=0，…，A
k+k
β=0，可得 A
k
(x
0
β+x
1
Aβ+x
2
A
2
β+…+x
k
A
k
β)=x
0
A
k
β=0，而A
k
β≠0，有x
0
=0． 同理，再在等式两边依次乘矩阵A
k－1
，A
k－2
，…，A
2
，A，可得x
1
=x
2
=…=x
k
=0， 故向量组β，Aβ，A
2
β，…，A
K
β线性无关．
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/jdu4777K
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考研数学一
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