2. 考研
  3. 已知二次型f(x1，x2，x3)=(1-a)x12+(1-a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2． 求正交变换x=Qy，把f(x1，x2，x3)化成标准形；

已知二次型f(x1，x2，x3)=(1-a)x12+(1-a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2． 求正交变换x=Qy，把f(x1，x2，x3)化成标准形；

admin2013-03-04  58
问题 已知二次型f(x1，x2，x3)=(1-a)x12+(1-a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2．
求正交变换x=Qy，把f(x1，x2，x3)化成标准形；
选项
答案由[*]=λ（λ-2）2=0， 知矩阵A的特征值是2，2，0． 对λ=2，由(2E-A)x=0，[*] 得特征向量α1=(1，1，0)T，α2=(0，0，1)T． 对λ=0，由(0E-A)x=0，[*] 得特征向量α1=(1，-1，0)T． 由于特征向量已经两两正交，只需单位化，于是有 γ1=[*](1，1，0)T γ2=(0，0，1)T γ3=[*](1，-1，0)T 令Q=(γ1，γ2，γ3)=[*]，那么，经正交变换x=Q Y有 f(x1，x2，x3)=2y12+2y22．
解析
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考研数学三

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