设A∈Pn×n． (1)证明与A可交换的矩阵集合C(A)构成Pn×n的一个子空间． (2)当A=时，求C(A)的维数和一组基．

admin2020-09-25 156

问题设A∈P^n×n．
(1)证明与A可交换的矩阵集合C(A)构成P^n×n的一个子空间．
(2)当A=

时，求C(A)的维数和一组基．

选项

答案(1)E_n∈C(A)，所以C(A)非空．设任意B，C∈C(A)，则AB=BA，AC=CA，从而可得A(B+C)=AB+AC=BA+CA=(B+C)A，所以B+C∈C(A)．任取k∈R，则A(kB)=k(AB)=k(BA)=(ka)A，所以kB∈C(A)．从而可得C(A)对于加法和数乘均封闭，所以C(A)是P^n×n的一个子空间． (2)任意B∈C(A)，则AB=BA，由矩阵运算可知B是对角矩阵；反之，任一对角矩阵B都与A可换，从而可得B∈C(A)，所以C(A)是由对角矩阵组成的．所以 [*] 是C(A)的一组基，并且维数为n.

解析

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