2. 考研
  3. 设函数y(x)(x≥0)二阶可导，且y’(x)＞0，y(0)=1．过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2，并设2S1一S2

设函数y(x)(x≥0)二阶可导，且y’(x)＞0，y(0)=1．过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2，并设2S1一S2

admin2017-03-15  56
问题 设函数y(x)(x≥0)二阶可导，且y’(x)＞0，y(0)=1．过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2，并设2S1一S2恒为1，求曲线y=y(x)的方程．
选项
答案设曲线y=y(x)上的点P(x，y)处的切线方程为 Y一y=y’(X—x)， [*] 并且y’(0)=1，两边对x求导并化简得yy"=(y’)2，这是可降阶的二阶常微分方程，令p=y’，则上述方程可化 [*] 根据y’(0)=1，y(0)=1，可得C1=1，C2=1． 故所求曲线的方程为y=ex．
解析
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考研数学一

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