设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0．求证： (1)存在ξ∈(a，b)，使f(ξ)+ξfˊ(ξ)=0； (2)存在η∈(a，b)，使nf(η)十fˊ(η)=0．

admin2016-09-13 37

问题设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0．求证：
(1)存在ξ∈(a，b)，使f(ξ)+ξfˊ(ξ)=0；
(2)存在η∈(a，b)，使nf(η)十fˊ(η)=0．

选项

答案(1)设φ(x)=xf(x)，则φ(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且φ(a)=φ(b)=0，由罗尔定理得，存在ξ∈(a，b)，使φˊ(ξ)=0，即f(ξ)+ξfˊ(ξ)=0． (2)设F(x)=[*]f(x)，则F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且F(a)=F(b)=0，由罗尔定理得，存在η∈(a，b)，使Fˊ(η)=[*]η.f(η)=0，即nf(η)+fˊ(η)=0．

解析

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考研数学三

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