2. 考研
  3. (1)设函数f(x)，g(x)在[a，b]二上连续，在(a，b)内可导，且f(b)－f(a)＝g(b)－g(a)． 求证：(1)在(a，b)内至少有一点c，使fˊ(c)＝gˊ(c)； (2)设a＜c＜b．f(x)和g(x)都在[a，b]上连续，在(a，b)

(1)设函数f(x)，g(x)在[a，b]二上连续，在(a，b)内可导，且f(b)－f(a)＝g(b)－g(a)． 求证：(1)在(a，b)内至少有一点c，使fˊ(c)＝gˊ(c)； (2)设a＜c＜b．f(x)和g(x)都在[a，b]上连续，在(a，b)

admin2018-04-18  54
问题 (1)设函数f(x)，g(x)在[a，b]二上连续，在(a，b)内可导，且f(b)－f(a)＝g(b)－g(a)．
求证：(1)在(a，b)内至少有一点c，使fˊ(c)＝gˊ(c)；
(2)设a＜c＜b．f(x)和g(x)都在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，且f(a)＝g(a)，f(c)＝g(c)，f(b)＝g(b)，则在(a，b)内至少有一点ε，使f〞(ε)＝g〞(ε)；
(3)设f(x)在[0，4]上二阶可导，且f(0)＝0，f(1)＝1，f(4)＝2，证明存在一点ε∈(0，4)使得f〞(ε)＝－1／3．
选项
答案证：(1)令F(x)＝f(x)－g(x)，显然F(x)在[a，b]上满足罗尔定理的条件，因此在(a，b)内至少存在一点c，使Fˊ(c)＝0，即fˊ(c)＝gˊ(c)． (2)在[a，c]上考虑函数f(x)和g(x)．则f(x)、g(x)满足(1)的结论的条件，所以，存在ε1∈(a，c)，使得fˊ(ε1)＝gˊ(ε1)：同理存在点ε2∈(c，b)，使得 fˊ(ε2)＝gˊ(ε2)． 记h(x)＝fˊ(x)，k(x)＝gˊ(x)，在[ε1，ε2]上考虑h(x)，k(x)，则h(x)，k(x)满足(1)的结论的条件，所以，存在ε∈(ε1，ε2)∈(a，b)，使得hˊ(ε)＝kˊ(ε)，即f〞(ε)＝g〞(ε)． (3)首先定义一个二次函数；y＝g(x)＝Ax2－Bx＋C．使g(0)＝0，g(1)＝1，g(4)＝2.得g(x)＝－1／6x2＋7／6x，这样，g(0)＝f(0)，g(1)＝f(1)，g(4)＝f(4)，根据(2)的结论，存在ε∈(0，4)，使得f〞(ε)＝g〞(ε)，而g〞(ε)＝－1／3，所以f(ε)＝－1／3．
解析
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考研数学二

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