[2011年] 设A为三阶实对称矩阵，A的秩为2，且求A的所有特征值与特征向量；

admin2021-01-25 77

问题 [2011年] 设A为三阶实对称矩阵，A的秩为2，且

求A的所有特征值与特征向量；

选项

答案因A的秩为2，A又为实对称矩阵，故A可相似对角化，且其非零特征值即其相似对角矩阵上的非零主对角元只有两个，因而0为A的一个特征值．由题设可得 [*] 故λ₁=－1是A的一个特征值，且属于λ₁=－1的特征向量为k₁[1，0，－1]^T，其中k₁为任意非零常数；且λ₂=1也是A的一个特征值，且属于λ₂=1的所有特征向量为k₂[1，0，1]^T，其中k₂为任意非零常数．设[x₁，x₂，x₃]^T为A的属于特征值0的特征向量，由于A为实对称矩阵，则 [*] 于是属于0的特征向量为k₃[0，1，0]^T，其中k₃为任意非零常数．

解析

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考研数学三

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