设0＜a＜b，证明：

admin2019-11-25 72

问题设0＜a＜b，证明：

选项

答案首先证明[*]．因为[*](lnb－lna)－[*]＜0，所以令φ(x)＝lnx－lna－[*]， φ(a)＝0，φ’(x)＝[*]＜0(x＞a)，由[*]φ(x)＜0(x＞a)，且b＞a，所以φ(b)＜0，即[*]．再证[*]．方法一因为[*](b²＋a²)(lnb－lna)－2a(b－a)＞0，所以令f(x)＝(x²＋a²)(lnx－lna)－2a(x－a)，f(a)＝0， f’(x)＝2a(lnx－lna)＋x＋[*]－2a＝2x(lnx－lna)＋[*]＞0(x＞a)．由[*]fx)＞0(x＞a)，因为b＞a，所以f(b)＞f(a)＝0，即[*]．方法二令f(x)＝lnx，则存在ξ∈(a，b)，使得[*]，其中0＜a＜ξ＜b，则[*]，所以[*]．

解析

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