设A是n阶实对称矩阵，满足A4＋2A3＋A2＋2A＝0，若秩r(A)＝r，则行列式｜A＋3E｜＝_______．

admin2018-06-12 77

问题设A是n阶实对称矩阵，满足A⁴＋2A³＋A²＋2A＝0，若秩r(A)＝r，则行列式｜A＋3E｜＝_______．

选项

答案3^n-r

解析由A是实对称矩阵知A必可相似对角化，而当A～∧时，∧由A的n个特征值所构成．只要能求出对角矩阵∧，根据｜A｜＝Пλ_i就可以求出行列式｜A＋3E｜的值．
设λ是矩阵A的任一特征值，α是属于特征值λ的特征向量，即Aα＝λα(α≠0)，则
A²α＝λ²α，A³α＝λ³α，A⁴α＝λ⁴α．
于是(λ⁴＋2λ³＋λ²＋2λ)α＝0，α≠0．
即有λ⁴＋2λ³＋λ²＋2λ＝λ(λ＋2)(λ²＋1)＝0．
因为实对称矩阵的特征值必是实数，故A的特征值取自－2与0．那么由r(A)＝r，得到

即矩阵A的特征值是－2(r重)，0(n－r重)．因此A＋3E的特征值是1(r重)，3(n－r重)．从而
｜A＋3E｜＝3^n-r．

转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/iUg4777K

考研数学一

相关试题推荐

随机试题

最新回复(0)

设A是n阶实对称矩阵，满足A4＋2A3＋A2＋2A＝0，若秩r(A)＝r，则行列式｜A＋3E｜＝_______．

考研数学一

设矩阵X满足方程，则矩阵X＝_______．

设在一个空间直角坐标系中，有3张平面的方程：P1：χ＋2y＋3z＝3；P2：2χ一2y＋2az＝0；P3：χ－ay＋z＝b．已知它们两两相交于3条互相平行的不同直线，求a，b应该满足的条件．

设三元非齐次线性方程组的系数矩阵A的秩为1，已知η1，η2，η3是它的三个解向量，且η1+η2=[1，2，3]T，η2+η3=[2，-1，1]T，η3+η1=[0，2，0]T，求该非齐次方程的通解．

设求曲线y=f(x)与它所有水平渐近线及Oy轴围成图形的面积．

计算不定积分

求不定积分

积分=__________

设在平面区域D上数量场u(x，y)=50-x2-4y2，试问在点P0(1，-2)∈D处沿什么方向时u(x，y)升高最快，并求一条路径，使从点P0(1，-2)处出发沿这条路径u(x，y)升高最快．

曲面上任意一点处的切平面在三个坐标轴上的截距之和为()

设X1，X2，…，X25是取自于正态总体N(μ，9)的样本，其中μ为未知参数，如果对检验问题H0：μ=μ0，H1：μ≠μ0，取检验的拒绝域为W={(X1，X1，…，X25)：}其中试决定常数C，使检验的显著性水平为0．05．

中心要素不能为人们直接感觉到，因而中心要素只能作为基准要素，而不能作为被测要素。()

在中国，你必须用人民币购买东西，否则会被拒绝，这是直接文化强制。()

关于卫生法律关系的描述错误的是

伯、仲、叔和季碳的区别可利用13C-NMR中的

甲房地产公司和乙建筑公司签订了一份承包合同，并由丙实业公司为甲房地产公司提供连带责任担保。后甲房地产公司和乙建筑公司因履行该合同发生纠纷，乙建筑公司欲起诉。下列有关本案被告的表述中，哪个是正确的?

根据《标准施工招标文件》中的通用合同条款的规定，除专用合同条款另有约定外，在履行合同中发生()之一，应按照规定进行变更。

下列关于增值税征税范围的说法错误的有()。

世界各地的文化传统、风俗民情、禁忌、习惯等的不同，决定了导游服务工作具有()的特点。

我国国有企业改革的方向是()。

下列各选项中，不属于序言性注释的是()。