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  3. 设0＜x0＜1，xn+1=xn(2-xn)，求证：{xn}收敛并求xn.

设0＜x0＜1，xn+1=xn(2-xn)，求证：{xn}收敛并求xn.

admin2019-03-21  62
问题 设0＜x0＜1，xn+1=xn(2-xn)，求证：{xn}收敛并求xn.
选项
答案令f(x)=x(2-x)，则xn+1=f(xn)．易知 f’(x)=2(1-x)＞0，x∈(0，1)． 因0＜x0＜1[*]x1=x0(2-x0)=1-(x0-1)2∈(0，1)． 若xn∈(0，1)[*]xn+1=xn(2-xn)∈(0，1)． 又x1-x0=x0(1-x0)＞0 [*] {xn}单调上升且有界[*]xn=a． 由递归方程得a=a(2-a)．显然a＞0 [*] a=1．因此[*]xn=1．
解析
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考研数学二

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