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  3. 设函数f(x)具有二阶连续导数，且f(0)＝0，f’(0)＝－1，已知曲线积分与路径无关，则f(x)＝________．

设函数f(x)具有二阶连续导数，且f(0)＝0，f’(0)＝－1，已知曲线积分与路径无关，则f(x)＝________．

admin2019-08-27  48
问题 设函数f(x)具有二阶连续导数，且f(0)＝0，f’(0)＝－1，已知曲线积分与路径无关，则f(x)＝________．
选项
答案[*]
解析 【思路探索】由曲线积分与路径无关的充要条件可以得到f(x)所满足的微分方程，再根据所给的初始条件求出f(x)．
曲线积分与路径无关，故有

即
消去cos y，整理得f’’－5f’＋6f＝xe2x，
对应齐次方程的特征方程为r2－5r＋6＝(r－2)(r－3)＝0，
对应齐次方程的通解为，
由于λ＝2是特征根，故设f＝x(Ax＋B)e2x，代入方程可求出A＝－1／2，B＝－1，于是方程的通解为
再由f(0)＝0及f’(0)＝－1，可求出C1＝C2＝0，
因而所求函数为f(x)＝－1／2x(x＋2)e2x．
故应填
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考研数学一

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