设α，β都是n维非零列向量，A=αβT．证明：A相似于对角矩阵βTα≠0．

admin2017-06-08 75

问题设α，β都是n维非零列向量，A=αβ^T．
证明：A相似于对角矩阵<=>β^Tα≠0．

选项

答案由例5．2的①知道，A的特征值为0，0，…，0，β^Tα．由相似对角化的判别法则二，只用对重数大于1的特征值0，检查其重数是否等于n－r(A－0E)=n－r(A)=n－1．当β^Tα=0时，0的重数是n，A不能相似对角化．当β^Tα≠0时，0的重数是n－1，A可相似对角化．

解析

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