判断表面积相同的正方体和长方体的体积大小关系，并证明．

admin2015-11-17 90

问题判断表面积相同的正方体和长方体的体积大小关系，并证明．

选项

答案当正方体和长方体的表面积相同时，正方体的体积大于长方体的体积．设长方体的三边分别为a、b、c，正方体的边长为l，因为表面积相同，所以2ab+2ac+2bc=6l²，即ab+ac+bc=3l²．根据均值定理可知 [*] 又因为V_正=l³，V_长=abc，所以l³≥abc，即V_正≥V_长，当且仅当a=b=c时取等号，此时长方体即为正方体，所以不能取等号．所以当正方体和长方体的表面积相同时，正方体的体积大于长方体的体积．

解析

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