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设三阶实对称矩阵A的特征值λ1=1,λ2=2,λ3=—2,α1=(1,—1,1)T是A的属于特征值λ1的一个特征向量,记B=A5—4A3 +E,其中E为三阶单位矩阵。 (Ⅰ)验证α1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量; (Ⅱ)求矩阵B。
设三阶实对称矩阵A的特征值λ1=1,λ2=2,λ3=—2,α1=(1,—1,1)T是A的属于特征值λ1的一个特征向量,记B=A5—4A3 +E,其中E为三阶单位矩阵。 (Ⅰ)验证α1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量; (Ⅱ)求矩阵B。
admin
2017-01-21
64
问题
设三阶实对称矩阵A的特征值λ
1
=1,λ
2
=2,λ
3
=—2,α
1
=(1,—1,1)
T
是A的属于特征值λ
1
的一个特征向量,记B=A
5
—4A
3
+E,其中E为三阶单位矩阵。
(Ⅰ)验证α
1
是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量;
(Ⅱ)求矩阵B。
选项
答案
(Ⅰ)由Aα
1
=α
1
得A
2
α
1
=Aα
1
=α
1
,依次递推,则有A
3
α
1
=α
1
,A
5
α
1
=α
1
,故 Bα
1
=(A
5
—4A
3
+E)α
1
=A
5
α
1
一4A
3
α
1
+α
1
=—2α
1
, 即α
1
是矩阵B的属于特征值—2的特征向量。 由关系式B=A
5
—4A
3
+E及A的三个特征值λ
1
=1,λ
2
=2,λ
3
=—2得B的三个特征值为μ
1
=—2,μ
3
=1,μ
3
=1。 设α
2
,α
3
为B的属于μ
2
=μ
3
=1的两个线性无关的特征向量,又由A为对称矩阵,则B也是对称矩阵,因此α
1
与α
2
,α
3
正交,即α
1
T
α
2
=0,α
1
T
α
3
=0。 因此α
2
,α
3
可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解,即 [*] 得其基础解系为 [*] B的全部特征向量为 [*] 其中k
1
≠0,k
2
,k
3
不同时为零。 (Ⅱ)令P=(α
1
,α
2
,α
3
) [*]
解析
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考研数学三
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