设y=y（x）是区间（—π，π）内过的光滑曲线，当—π＜x＜0时，曲线上任一点处的法线都过原点，当0≤x＜π时，函数y（x）满足y"+y+x=0。求函数y（x）的表达式。

admin2017-01-21 73

问题设y=y（x）是区间（—π，π）内过

的光滑曲线，当—π＜x＜0时，曲线上任一点处的法线都过原点，当0≤x＜π时，函数y（x）满足y"+y+x=0。求函数y（x）的表达式。

选项

答案由题意，当—π＜x ＜0时，法线均过原点，所以有y=[*]，即ydy=—xdx，得y²=—x²+C。又[*] 代入y²=一x²+C得C=π²，从而有x²+y²=π²。当0≤x＜π时，y"+y+x=0，得其对应齐次微分方程y"+y=0的通解为 y^*=C₁cosx+C₂sinx 设其特解为y₁=Ax+B，则有0+Ax+B+x=0，得A=—1，B=0，故y₁=—x是方程的特解，因此y"+y+x=0的通解为y=C₁cosx+C₂sinx—x。因为y=y（x）是（—π，π）内的光滑曲线，故y在x=0处连续且可导，所以由已知得 y |_x=0=π，y’|_x=0=0，故得C₁=π，C₂=1，所以 [*]

解析

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考研数学三

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设y=y（x）是区间（—π，π）内过的光滑曲线，当—π＜x＜0时，曲线上任一点处的法线都过原点，当0≤x＜π时，函数y（x）满足y"+y+x=0。求函数y（x）的表达式。

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