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  3. 设f(x，y)=(x一6)(y+8)，求函数f(x，y)在点(x，y)处的最大的方向导数g(x，y)，并求g(x，y)在区域D={(x，y)|x2+y2≤25}上的最大值与最小值．

设f(x，y)=(x一6)(y+8)，求函数f(x，y)在点(x，y)处的最大的方向导数g(x，y)，并求g(x，y)在区域D={(x，y)|x2+y2≤25}上的最大值与最小值．

admin2020-11-16  62
问题 设f(x，y)=(x一6)(y+8)，求函数f(x，y)在点(x，y)处的最大的方向导数g(x，y)，并求g(x，y)在区域D={(x，y)|x2+y2≤25}上的最大值与最小值．
选项
答案函数f(x，y)的梯度为gradf(x，y)={y+8，x一6}， [*] 其中e为射线对应的单位向量，θ为梯度与射线的夹角， 则[*] 令H(x，y)=(x一6)2+(y+8)2， 当x2+y2＜25时，因为[*]在x2+y2＜25内无解，所以H(x，y)的最大值与最小值在区域D的边界上取到． 当x2+y2=25， 令F(x，y，λ)=(x一6)2+(y+8)2+λ(x2+y2—25)， 由[*]得[*]或[*] 因为H(3，一4)=25，H(一3，4)=225， 所以g(x，y)在区域D上的最大值和最小值分别为15和5．
解析
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考研数学一

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