设f(x)在(0，+∞)二阶可导且f(x)，f″(x)在(0，+∞)上有界，求证：f′(x)在(0，+∞)上有界．

admin2016-10-26 67

问题设f(x)在(0，+∞)二阶可导且f(x)，f″(x)在(0，+∞)上有界，求证：f′(x)在(0，+∞)上有界．

选项

答案按条件，联系f(x)，f″(x)与f′(x)的是带拉格朗日余项的一阶泰勒公式． [*]x＞0，h＞0有 f(x+h)=f(x)+f′(x)h+[*]f″(ξ)h²，其中ξ∈(x，x+h)．特别是，取h=1，ξ∈(x，x+1)，有 f(x+1)=f(x)+f′(x)+[*]f″(ξ)，即 f′(x)=f(x+1)一f(x)一[*]f″(ξ)．由题设，｜f(x)｜≤M₀，｜f″(x)｜≤M₂([*]x∈(0，+∞))，M₀，M₂为常数，于是有｜f′(x)｜≤｜f(x+1)｜+｜f(x)｜+[*]｜f″(ξ)｜≤2M₀+[*]x＞0)，即f′(x)在(0，+∞)上有界．

解析

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考研数学一

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