设{an}为有界数列，记 =sup{an，an+1，…}，=inf{an，an+1，…}．证明： {an}收敛

admin2022-10-31 55

问题设{a_n}为有界数列，记

=sup{a_n，a_n+1，…}，

=inf{a_n，a_n+1，…}．
证明：
{a_n}收敛

选项

答案必要性若[*]a_n=a，则[*]ε＞0，[*]N∈N₊，使得当n＞N时a-ε＜a_n＜a+ε．于是当n＞N时a-ε≤[*]≤a+ε，令n→∞，又有a-ε≤[*]≤a+ε知[*] 充分性若[*]，因为[*]，所以对[*]ε＞0，[*]N∈N₊，使得当n＞N时a-ε＜[*]＜a+ε，于是a-ε＜a_n＜a+ε，由定义知[*]a_n=a．

解析

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