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设A=E+ααT，其中α=(a1，a2，α3)T，且αTα=2，求A的特征值和特征向量．
设A=E+ααT，其中α=(a1，a2，α3)T，且αTα=2，求A的特征值和特征向量．
admin
2020-04-30
22
问题
设A=E+αα
T
，其中α=(a
1
，a
2
，α
3
)
T
，且α
T
α=2，求A的特征值和特征向量．
选项
答案
由Aα=(E+αα
T
)α=α+αα
T
α=3α，于是得A的特征值λ
1
=3，其对应的特征向量为k
1
α，k
1
≠0为常数． 又由A=E+αα
T
，得A-E=αα
T
，两边取行列式｜A-E｜=｜αα
T
｜=0，由此知λ
2
=1是A的另一个特征值． 再由矩阵A的特征值的性质，trA=λ
1
+λ
2
+λ
3
=4+λ
3
，从而λ
3
=trA-4=3+α
T
α-4=1． 由于λ
2
=λ
3
=1，对应的特征矩阵为A-E，由题设条件α=(a
1
，a
2
，a
3
)
T
≠0，不妨设a
1
≠0，则 [*] 由此得方程组(A-E)x=0的同解方程组为 a
1
x
1
=-a
2
x
2
-a
3
x
3
， 解得λ
2
=λ
3
=1对应的特征向量为x=k
2
(-a
2
，a
1
，0)
T
+k
3
(-a
3
，0，a
1
)
T
，其中k
2
，k
3
是不同时为零的任意常数．
解析
本题考查抽象矩阵求特征值与特征向量的方法．可用定义Ax=λx，特征方程｜λE-A｜=0，trA=λ
1
+λ
2
+λ
3
，求A的特征值与特征向量．
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/g1v4777K
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