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  3. 设矩阵A＝，求f(A)＝A10－6A9＋5A8

设矩阵A＝，求f(A)＝A10－6A9＋5A8

admin2020-06-05  21
问题 设矩阵A＝，求f(A)＝A10－6A9＋5A8
选项
答案方法一 因为矩阵A的特征多项式为 ｜A－λE｜＝[*] ＝(1－λ)(1＋λ)(λ－5) 所以矩阵A的特征值为λ1＝﹣1，λ2＝1，λ3＝5． 当λ1＝﹣1时，解方程(A＋E)x＝0．由 A＋E＝[*] 得基础解系为p1＝(﹣1，﹣1，2)T． 当λ2＝1时，解方程(A－E)x＝0．由 A－E＝[*] 得基础解系为p2＝(﹣1，1，0)T． 当λ3＝5时，解方程(A－E)x＝0．由 A－5E＝[*] 得基础解系为p3＝(1，1，1)T． 令P＝(p1，p2，p3)，根据相似对角化的结论可知P﹣1AP＝[*]＝diag(﹣1，1，5)，进而A＝P[*]P﹣1，于是 f(A)＝Pf([*])P﹣1＝Pdiag(f(﹣1)，f(1)，f(5))P﹣1 [*] 方法二 因为矩阵A的特征多项式为： ｜A－λE｜＝[*] ＝(1－λ)(1＋λ)(λ－5) 所以A的特征值为λ1＝﹣1，λ2＝1，λ3＝5．故存在正交矩阵Q＝(q1，q2，q3)，使得QTAQ＝[*]＝diag(﹣1，1，5)，从而A＝[*]，进而 f(A)＝ [*] ＝12q1q1T 因此，只需计算矩阵A的属于特征值λ1＝﹣1的单位特征向量q1即可． 当λ1＝﹣1时，解方程(A＋E)x＝0．由 A＋E＝[*] 得基础解系为p1＝(﹣1，﹣1，2)T，即可得q1＝[*]．因此 f(A)＝[*] 方法三 矩阵A的特征多项式φ(λ)＝｜A—AE｜＝－λ3＋5λ＋λ－5，而 f(A)＝﹣φ(A)(A7－A6＋A5－A4＋A3－A2＋A－E)＋A2－6A＋5E 根据特征多项式的性质φ(A)＝0，于是 f(A)＝A2－6A＋5E＝(A－5E)(A－E) [*]
解析
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考研数学一

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