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设y=f(x)是第一象限内连接点A(0,1),B(1,0)的一段连续曲线,M(x,y)为该曲线上任意一点,点C为M在x轴上的投影,O为坐标原点,若梯形OCMA的面积与曲边三角形CBM的面积之和为x3/6+1/3,求f(x)的表达式.
设y=f(x)是第一象限内连接点A(0,1),B(1,0)的一段连续曲线,M(x,y)为该曲线上任意一点,点C为M在x轴上的投影,O为坐标原点,若梯形OCMA的面积与曲边三角形CBM的面积之和为x3/6+1/3,求f(x)的表达式.
admin
2013-01-23
54
问题
设y=f(x)是第一象限内连接点A(0,1),B(1,0)的一段连续曲线,M(x,y)为该曲线上任意一点,点C为M在x轴上的投影,O为坐标原点,若梯形OCMA的面积与曲边三角形CBM的面积之和为x
3
/6+1/3,求f(x)的表达式.
选项
答案
由题意得,有f(0)=1,f(1):0,且 [*], 将上式两边对x求导数,得 1/2[1+f(x)]+x/2f’(x)-f(x)=x
2
/2. 当0
2,积分可得 f(x)/x=x+1/x+C. 于是,方程的通解为f(x)=x
2
+1+Cx. 把f(1)=0代入通解,可确定常数C=-2,故所求函数f(x)的表达式为 f(x)=x
2
+1-2x=(x-1)
2
,0≤x≤1.
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/fMF4777K
0
考研数学三
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