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  3. 设二次型f(x1，x2)＝ax12＋bx22＋4x1x2经过正交变换x＝Qy化为g(y1，y2)＝2y12＋2y1y2二次型f与g的矩阵分别为A与B 求正交矩阵Q

设二次型f(x1，x2)＝ax12＋bx22＋4x1x2经过正交变换x＝Qy化为g(y1，y2)＝2y12＋2y1y2二次型f与g的矩阵分别为A与B 求正交矩阵Q

admin2022-06-09  55
问题 设二次型f(x1，x2)＝ax12＋bx22＋4x1x2经过正交变换x＝Qy化为g(y1，y2)＝2y12＋2y1y2二次型f与g的矩阵分别为A与B
求正交矩阵Q
选项
答案由(I)，知A＝[*]，由｜λE－A｜＝0，得A的特征值为λ1＝3，λ2＝－1 由A～B，知B的特征值也为μ1＝3，μ2＝－1 由(3E－A)x＝0，得特征向量α1＝(1，1)T 由(－E－A)x＝0，得特征向量α2＝(1，－1)T 单位化，得 γ1＝[*](1，1)T，γ2＝[*](1，－1)T 同理可求得B对直于μ1＝3，μ2＝－1的特征向量分别为 β1＝([*]，1)T，β2＝(1，[*])T 单位化，得 η1＝1/2([*]，1)T，η2＝1/2(1，[*])T 令Q1＝(γ1，γ2)，则Q11AQ1＝diag(3，－1)，令Q2＝(η1，η2)，则Q2－1BQ2＝diag(3，－1) 故Q11AQ1＝Q21BQ2，即 (Q1Q2－1)－1A(Q1Q2－1)＝B 于是所求正交矩阵Q为 Q＝Q1Q1-1＝[*]
解析
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考研数学二

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