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  3. 设f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-5)，则在(0，5)内方程f’’(x)=0有_______个实根．

设f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-5)，则在(0，5)内方程f’’(x)=0有_______个实根．

admin2017-09-28  62
问题 设f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-5)，则在(0，5)内方程f’’(x)=0有_______个实根．
选项
答案3
解析 用罗尔定理研究方程f’(x)=0，f’’(x)=0根的存在性．
    由于f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-5)在[0，1]，[1，2]，[2，3]，[3，5]上连续，在(0，1)，(1，2)，(2，3)，(3，5)内可导，且
    f(0)=f(1)=f(2)=f(3)=f(5)=0，
所以由罗尔定理可知，存在ξ1∈(0，1)，ξ2∈(1，2)，ξ3∈(2，3)，ξ4∈(3，5)，使得
    f’(ξ1)=f’(ξ2)=f’(ξ3)=f’(ξ4)=0．
    又由于f’(x)为四次多项式，它在[ξ1，ξ2]，[ξ2，ξ3]，[ξ3，ξ4]上满足罗尔定理条件，所以存在η1∈(ξ1，ξ2)，η2∈(ξ2，ξ3)，η3∈(ξ3，ξ4)，使得
   f’’(η1)=f’’(η2)=f’’(η3)=0，
故f’’(x)=0在(0，5)内至少有三个实根．
    由于f’’(x)为三次多项式，它最多有三个根，所以在区间(0，5)内，方程f’’(x)=0有三个实根η1，η2，η3.
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