设A为n(n≥3)阶非零实矩阵，Aij为A中元素aij的代数余子式，证明下列结论： (1)aij=AijATA=E且｜A｜=1； (2)aij=－AijATA=E且｜A｜=－1．

admin2016-09-19 57

问题设A为n(n≥3)阶非零实矩阵，A_ij为A中元素a_ij的代数余子式，证明下列结论：
(1)a_ij=A_ij<=>A^TA=E且｜A｜=1；
(2)a_ij=－A_ij<=>A^TA=E且｜A｜=－1．

选项

答案(1)当a_ij=A_ij时，有A^T=A^*，则A^TA=AA^*=｜A｜E．由于A为n阶非零实矩阵，即a_ij不全为0，所以tr(AA^T)=[*]a_ij²＞0．而tr(AA^T)=tr(｜A｜E)=n｜A｜，这说明｜A｜＞0．在AA^T=｜A｜E两边取行列式，得｜A｜^n－2=1，｜A｜=1．反之，若A^TA=E且｜A｜=1，则A^*A=｜A｜E=E且A可逆，于是，A^TA=A^*A，A^T=A^*，即a_ij=A_ij． (2)当a_ij=－A_ij时，有A^T=－A^*，则A^TA=－A^*A=－｜A｜E．由于A为n阶非零实矩阵，即a_ij不全为0，所以｜A｜=[*]＜0．在A^TA=－｜A｜E两边取行列式得｜A｜=－1．反之，若A^TA=E且｜A｜=－1，由于A^*A=｜A｜E=－E，于是，A^TA=－A^*A．进一步，由于A可逆，得A^T=－A^*，即a_ij=－A_ij．

解析

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考研数学三

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设A为n(n≥3)阶非零实矩阵，Aij为A中元素aij的代数余子式，证明下列结论： (1)aij=AijATA=E且｜A｜=1； (2)aij=－AijATA=E且｜A｜=－1．

考研数学三

设矩阵Am×n的秩为r(A)=m＜n，Em为m阶单位矩阵，下列结论中正确的是()．

设α1，α2，…，αr，β都是n维向量，β可由α1，α2，…，αr线性表示，但β不能由α1，α2，…，αr-1线性表示，证明：αr可由α1，α2，…，αr-1，β线性表示．

设α1=(1，1，1)，α2=(1，2，3)，α3=(1，3，t)，求：(1)t为何值时，向量组α1，α2，α3线性相关；(2)t为何值时，向量组α1，α2，α3线性无关；(3)当线性相关时，将α3表为α1和α2的线性组合．

已知二次型f(x1，x2，x3，x4)=2x1x2+2x1x3+2x1x4+2x3x4，则二次型f(x1，x2，x3，x4)的矩阵为_，二次型f(x1，x2，x3，x4)的秩为__．

设A与B均为n,阶矩阵，且A与B合同，则()．

设向量组B：β1，β2，…，βr能由向量组A：α1，α2，…，αs线性表示为：其中，K为r×s矩阵，且向量组A线性无关，证明：向量组B线性无关的充要条件是矩阵K的秩r(K)=r．

设f(x)在[a，b]上可积，又，证明φ(x)是[a，b]上的连续函数．

试求正数λ的值，使得曲面xyz＝λ与曲面在某一点相切．

五阶行列式D==________.

惩罚那些不符合组织目标的行为，以使这些行为削弱甚至消失，从而保证组织目标的实现不受干扰。这指的是____________。

A．肉芽肿B．肉芽组织C．实质样变D．肉瘤E．肉眼观脏器表面有凹陷性瘢痕

企业的流动资产包括存货、库存现金、应收账款和(　)等。

设备维护是为了保持设备处于良好工作状态，延长使用寿命所进行的日常工作，主要分为()。

【2015年云南玉溪／2013年福建】教材编写、教学、评估和考试的依据是()。

Theemployertriedtobullyhisemployeesfromstagingstrikesbythreateningtoclosedowntheentireplant.

Mathematicalabilityandmusicalabilitymaynotseemonthesurfacetobeconnected,butpeoplewhohaveresearchedthesubject

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