证明：实对称矩阵A可逆的充分必要条件为存在实矩阵B，使得AB+BTA正定．

admin2016-09-19 121

问题证明：实对称矩阵A可逆的充分必要条件为存在实矩阵B，使得AB+B^TA正定．

选项

答案必要性取B=A^－1，则AB+B^TA=E+(A^－1)^TA=2E，所以AB+B^TA是正定矩阵．充分性用反证法．若A不是可逆矩阵，则r(A)＜n，于是存在实向量χ₀≠0使得Aχ₀=0．因为A是实对称矩阵，B是实矩阵，于是有 χ₀^T(AB+B^TA)χ₀=(Aχ₀)^TBχ₀+χ₀^TB^T(Aχ₀)=0，这与AB+B^TA是正定矩阵矛盾．

解析

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考研数学三

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