设PQ为抛物线yx2/4的弦，它在此抛物线过P点的法线上，求PQ长度的最小值．

admin2021-10-18 52

问题设PQ为抛物线yx²/4的弦，它在此抛物线过P点的法线上，求PQ长度的最小值．

选项

答案令P(a，a²/4)，因为y=x²/4关于y轴对称，不妨设a＞0．y’(a)=a/2，过P点的法线方程为．y-a²/4=-2/a(x-a)，设Q(b，b²/4)，因为Q在法线上，所以b²/4-a²/4=-2/a(b-a)，解得b=-a-8/a．PQ的长度的平方为L(a)=(b-a)²+[1/4(b²-a²)]²=4a²(1+4/a²)³．由L’(a)=8a(1+4/a²)²(1-8/a²)=0得[*]为唯一驻点，从而为最小值点，故PQ的最小距离为[*]

解析

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考研数学二

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