设f(x)在(0，＋∞)内连续，f(1)＝3，且其中x，y∈(0，＋∞)，求f(x)．

admin2016-01-25 30

问题设f(x)在(0，＋∞)内连续，f(1)＝3，且

其中x，y∈(0，＋∞)，求f(x)．

选项

答案在等式两边依次对x，y求导，有 yf(xy)＝[*]f(t)dt＋yf(x)， xf(xy)＝xf(y)＋[*]f(t)dt． ① 在式①两边对x求导得到 f(xy)＋xyf′(xy)＝f(y)＋f(x)． ② 取x＝1，由式②得到 f(y)＋yf′(y)＝f(y)＋3，得f′(y)＝[*]，积分得 f(x)＝31ny＋C．由f(1)＝3，知C＝3，所以 f(y)＝3(1ny＋1)，即 f(x)＝3(lnx＋1)．

解析在所给等式两边分别对x，y求导．为去掉积分号需对x两次求导，再将f(1)＝3代入化为f(y)所满足的一阶微分方程解之，求得f(y)，即f(x)．

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