2. 考研
  3. 设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，f′+(a)f′(b)＞0，且g(x)≠0(x∈[a，b])，g″(x)≠0(a＜x＜b)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得

设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，f′+(a)f′(b)＞0，且g(x)≠0(x∈[a，b])，g″(x)≠0(a＜x＜b)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得

admin2021-12-14  0
问题 设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，f′+(a)f′(b)＞0，且g(x)≠0(x∈[a，b])，g″(x)≠0(a＜x＜b)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得
选项
答案设f′+(a)＞0，f′-(b)＞0， 由f′+(a)＞0，得存在x1∈(a，b)，使得f(x1)＞f(a)=0； 由f′-(b)＞0，得存在x2∈(a，b)，使得f(x2)／f(b)=0， 因为f(x1)f(x2)＜0，所以由零点定理，存在c∈(a，b)，使得f(c)=0． 令h(x)=f(x)/g(x)，显然h(x)在[a，b]上连续，由h(a)=h(c)=h(b)=0， 存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得h′(ξ1)=h′(ξ2)=0， 而h′(x)=[*] 令φ(x)=f′(x)g(x)-f(x)g′(x)，φ(ξ1)-φ(ξ2)=0， 由罗尔定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)[*](a，b)，使得φ′(ξ)=0， 而φ′(x)=f″(x)g(x)-f(x)g″(x)，所以f(ξ)/g(ξ)=[f″(ξ)]/[g″(ξ)].
解析
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考研数学一

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