2. 考研
  3. 设函数f(x)和g(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，且f(a)=g(b)=0，g’(x)＜0，试证明：存在ξ∈(a，b)使

设函数f(x)和g(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，且f(a)=g(b)=0，g’(x)＜0，试证明：存在ξ∈(a，b)使

admin2020-03-05  32
问题 设函数f(x)和g(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，且f(a)=g(b)=0，g’(x)＜0，试证明：存在ξ∈(a，b)使
选项
答案令φ(x)=f(x)∫xbg(x)dt+g(x)∫axf(t)dt， 则φ(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，且 φ’(x)=[f’(x)∫xbg(t)dt—f(x)g(x)]+[g(x)f(x)+g’(x)∫axf(t)dt] =f’(x)∫xbg(t)dt+g’(x)∫axf(t)dt， 因为φ(a)=φ(b)=0，所以由罗尔定理，存在ξ∈(a，b)使φ’(ξ)=0，即 f’(ξ)∫ξbg(t)dt+g’(ξ)∫aξf(t)dt=0， 由于g(b)=0及g’(x)＜0，所以区间(a，b)内必有g(x)＞0， 从而就有∫xbg(t)dt＞0，于是有[*]
解析
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考研数学一

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