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  3. 设f(x)在[0,1]上连续，证明∫0πxf(sinx)dx=π

设f(x)在[0,1]上连续，证明∫0πxf(sinx)dx=π

admin2022-09-05  66
问题 设f(x)在[0,1]上连续，证明∫0πxf(sinx)dx=π
选项
答案左端=∫0πxf(sinx)dx[*]∫0π(π－u)f(sinu)(－du) =∫0π(π－u)f(sinu)du=π∫0πf(sinx)dx－∫0πxf(sinx)dx 即2∫0πxf(sinx)dx=π∫0πf(sinx)dx，从而 ∫0πxf(sinx)dx=[*]∫0πf(sinx)dx=[*][*] 要使等式成立，必须使 [*] 比较上式两边被积函数，则令x=π－t，于是 [*] 所以∫0xxf(sinx)dx=[*]
解析
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考研数学三

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