2. 考研
  3. 设A为3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量，且满足 Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3． 求可逆矩阵P，使得P－1AP为对角矩阵．

设A为3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量，且满足 Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3． 求可逆矩阵P，使得P－1AP为对角矩阵．

admin2019-12-26  12
问题 设A为3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量，且满足
              Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3．
求可逆矩阵P，使得P－1AP为对角矩阵．
选项
答案【解法1】对应于λ1=λ2=1，解齐次线性方程组(E－B)x=0，得基础解系 ξ1=(－1，1，0)T，ξ2=(－2，0，1)T； 对应于λ3=4，解齐次线性方程组(4E－B)x=0，得基础解系 ξ3=(0，1，1)T． 令矩阵 [*] 则 [*] 因Q－1BQ=Q－1C－1ACQ=(CQ)－1A(CQ)，记矩阵 [*] 故P即为所求的可逆矩阵． 【解法2】由题设，有 A(α1－α2)=α1－α2，A(2α1－α3)=2α1－α3，A(α2+α3)=4(α2+α3)， 从而α1－α2，2α1－α3是A的属于特征值1的两个特征向量，α2+α3是A的属于特征值4的特征向量．又α1－α2，aα1－α3线性无关，从而α1－α2，2α1－α3，α2+α3线性无关，故P=(α1－α2，2α1－α3，α2+α3)为所求的可逆矩阵．
解析
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考研数学三

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