求下列幂级数的和函数并指出收敛域： (Ⅰ)n(n+1)xn．

admin2018-11-21 81

问题求下列幂级数的和函数并指出收敛域：
(Ⅰ)

n(n+1)xⁿ．

选项

答案(Ⅰ)为求其和函数，先进行代数运算，使其能够通过逐项求导与逐项积分等手段变成几何级数求和．设 [*] =一4ln(1一x)，(一1≤x＜1)，(利用ln(1+t)的展开式) 所以S(x)=S₁(x)—S₂(x)+S₃(x)=[*]ln(1—x) =[*]ln(1—x)，x∈(—1，1)，x≠0．当x=0时，上面的运算不能进行，然而从原级数看S(0)=a₀=1，同时，也容易看出[*]=1．这就说明S(x)在x=0处还是连续的，这一点也正是幂级数的和函数必须具备的性质． [*]

解析

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考研数学一

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设0＜x＜，证明．
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