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设α1，α2，…，αn是n个n维列向量，已知齐次线性方程组 α1x1+α2x2+…+αnxn=0 (*) 只有零解，问齐次线性方程组 (α1+α2)x1+(α2+α3)x2+…+(αn—1+αn)xn—1+(αn+α1)xn=
设α1，α2，…，αn是n个n维列向量，已知齐次线性方程组 α1x1+α2x2+…+αnxn=0 (*) 只有零解，问齐次线性方程组 (α1+α2)x1+(α2+α3)x2+…+(αn—1+αn)xn—1+(αn+α1)xn=
admin
2016-05-03
36
问题
设α
1
，α
2
，…，α
n
是n个n维列向量，已知齐次线性方程组
α
1
x
1
+α
2
x
2
+…+α
n
x
n
=0 (*)
只有零解，问齐次线性方程组
(α
1
+α
2
)x
1
+(α
2
+α
3
)x
2
+…+(α
n—1
+α
n
)x
n—1
+(α
n
+α
1
)x
n
=0 (**)
是否有非零解?若没有，说明理由；若有，求出方程组(**)的通解．
选项
答案
齐次线性方程组 α
1
x
1
+α
2
x
2
+…+α
n
x
n
=0 (*) 只有零解，故其系数矩阵(记为A)的秩r(A)=r(α
1
，α
2
，…，α
n
)=n，则矩阵A是可逆方阵． 齐次线性方程组 (α
1
+α
2
)x
1
+(α
2
+α
3
)x
2
+…+(α
n-1
+α
n
)x
n-1
+(α
n
+α
1
)x
n
=0 (**) 的系数矩阵(记为B)和A有如下关系： (α
1
+α
2
，α
2
+α
3
，…，α
n-1
+α
n
，α
n
+α
1
)=(α
1
，α
2
，…，α
n
)[*]， 记为B=AC． 因A可逆，故有r(B)=r(C)，而 [*] 当n=2k+1时，｜C｜=2≠0，故r(B)=r(C)=n，方程组(**)只有零解． 当n=2k时，｜C｜=0，故r(B)=r(C)＜n，方程组(**)有非零解． 当n=2k时，B=AC，A可逆．故Bx=0和Cx=0是同解方程组，故只需求解线性齐次方程组 Cx=0即可． 对C作初等行变换，将第i行的(一1)倍加到第i+1行(i=1，2，…，n一1)． [*] 知r(B)=r(C)=2k一1，BX=0的基础解系为ξ=(1，一1，1，…，1，一1)
T
，故方程组(**)的通 解为cξ=c(1，一1，1，…，l，一1)
T
，其中c是任意常数． 或由C知，C中有n一1阶子式C
n-1
≠0，故r(B)=r(C)=2k一1，Bx=0有通解kξ． 由观察，因α
1
+α
2
一(α
2
+α
3
)+…一(α
2
k+α
1
)=0，则通解为k(1，一1，1，一1，…，一1)
T
，其中k是任意常数．
解析
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考研数学三
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