(07年)设矩阵，则A与B 【】

admin2021-01-25 56

问题 (07年)设矩阵

，则A与B 【】

选项 A、合同，且相似．
B、合同，但不相似．
C、不合同，但相似．
D、既不合同，也不相似．

答案B

解析由A的特征方程

得A的全部特征值为λ₁＝λ₂＝3，λ₃＝0，由此知A不相似于对角矩阵B(因为A的相似对角矩阵的主对角线元素必是A的全部特征值3，3，0)，但由A的特征值知3元二次型f(χ₁，χ₂，χ₃)＝χ^TAχ的秩及正惯性指数均为(二次型f＝χ^TAχ经适当的正交变换可化成标准形f＝3y₁²＋3y₂²，再经可逆线性变换可化成规范形f＝z₁²＋z₂²，而f的矩阵A与f的规范形的矩阵B＝diag(1，1，0)是合同的)．

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