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  3. 求方程karctanx－x=0不同实根的个数，其中k为参数．

求方程karctanx－x=0不同实根的个数，其中k为参数．

admin2020-05-02  22
问题 求方程karctanx－x=0不同实根的个数，其中k为参数．
选项
答案令f(x)=karctanx－x，则 [*] 当k＜1时，f′(x)＜0，f(x)在(－∞，+∞)上单调递减，故此时f(x)的图像与x轴只有一个交点，也即方程karctanx－x=0只有一个实根． 当k=1时，在(－∞，0)和(0，+∞)上都有f′(x)＜0，所以f(x)在(－∞，0)和(0，+∞)上严格单调递减．又f(0)=0，故f(x)的图像在(－∞，0)和(0，+∞)与x轴均无交点． 当k＞1时，[*]f′(x)＞0，则f(x)在[*]上单调增加．由f(0)=0，知f(x)在[*]上只有一个实根．又f(x)在[*]或[*]上都有f′(x)＜0，则f(x)在[*]或[*]上都单调递减，又[*]所以f(x)在[*]和[*]内与x轴均有一个交点． 综上所述：当k≤1时，方程karctanx－x=0只有一个实根；当k＞1时，方程karctanx－x=0有两个实根．
解析
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考研数学一

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