设λ0为A的特征值．证明：AT与A特征值相等；求A2，A2+2A+3E的特征值；若｜A｜≠0，求A-1，A*，E-A-1的特征值．

admin2022-11-08 77

问题设λ₀为A的特征值．证明：A^T与A特征值相等；求A²，A²+2A+3E的特征值；若｜A｜≠0，求A^-1，A^*，E-A^-1的特征值．

选项

答案因为｜λE-A^T｜=｜(λE-A)^T｜=｜λE-A｜，所以A^T与A的特征值相等．因为Aα=λ₀α(α≠0)，所以A²α=λ₀Aα=λ₀²α，(A²+2A+3E)α=(λ₀²+2λ₀+3)α，于是A²，A²+2A+3E的特征值分别为λ₀²，λ₀²+2λ₀+3．因为｜A｜=λ₁λ₂…λ_n≠0，所以λ₀≠0，由Aα=λ₀α得A^-1α=1/λ₀α，由A^*Aα=｜A｜α得A^*α=｜A｜/λ₀α，又(E-A^-1)α=(1-1/λ₀)α，于是A^-1，A^*，E-A^-1的特征值分别为1/λ₀，｜A｜/λ₀及1-1/λ₀．

解析

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考研数学三

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