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设数列{an}满足：存在正数M，对一切n有 An=｜a2-a1｜+｜a3-a2｜+…｜an-an-1｜≤M． 证明：数列{an}与{An}都收敛．
设数列{an}满足：存在正数M，对一切n有 An=｜a2-a1｜+｜a3-a2｜+…｜an-an-1｜≤M． 证明：数列{an}与{An}都收敛．
admin
2022-10-31
86
问题
设数列{a
n
}满足：存在正数M，对一切n有
A
n
=｜a
2
-a
1
｜+｜a
3
-a
2
｜+…｜a
n
-a
n-1
｜≤M．
证明：数列{a
n
}与{A
n
}都收敛．
选项
答案
因为A
n+1
-A
n
=｜a
n+1
-a
n
｜≥0，A
n
≤M．所以{A
n
}单调递增有上届．故{A
n
}收敛．由柯西收敛准则知，对[*]＞0．[*]N∈N
+
，当m＞n＞N时有｜A
m
-A
n
｜=A
m
-A
n
＜ε．于是 ｜a
m
-a
n
｜=｜(a
m
-a
m-1
)+(a
m-1
-a
m-2
)+…+(a
n+1
-a
n
)｜ ≤｜a
m
-a
m-1
｜+｜a
m-1
-a
m-2
｜+…+｜a
n+1
-a
n
｜=A
m
-A
n
＜ε， 由Cauchy收敛准则知，{a
n
}收敛．
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/cSgD777K
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考研数学一
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