设3阶矩阵A的特征值为1，－1，0，对应的特征向量分别为α1，α2，α3，若B=A2－2A+3E，试求B－1的特征值和特征向量．

admin2018-07-27 53

问题设3阶矩阵A的特征值为1，－1，0，对应的特征向量分别为α₁，α₂，α₃，若B=A²－2A+3E，试求B^－1的特征值和特征向量．

选项

答案Bα=(A²－2A+3E)α₁=A²α₁－2Aα₁+3α₁=λ₁²α₁－2λ₁α₁+3α₁=(λ₁²－2λ₁+3)α₁=2α₁，类似可得Bα₂=6α₂，Bα₃=3α₃，故B的特征值为2，6，3，对应的线性无关特征向量分别为α₁，α₂，α₃，得B^－1的特征值为1／2，1／6，1／3，对应的特征向量分别为k₁α₁，k₂α₂，k₃α₃(k_i为任意非零常数，i=1，2，3)．

解析

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