设A是三阶矩阵，α1，α2，α3为三维列向量且α1≠0，若Aα1=α1，Aα2=α1+α2，Aα3=α2+α3．证明：向量组α1，α2，α3线性无关．

admin2017-03-02 72

问题设A是三阶矩阵，α₁，α₂，α₃为三维列向量且α₁≠0，若Aα₁=α₁，Aα₂=α₁+α₂，Aα₃=α₂+α₃．
证明：向量组α₁，α₂，α₃线性无关．

选项

答案由Aα₁=α₁得(A—E)α₁=0，由Aα₂=α₁+α₂得(A—E)α₂=α₁，由Aα₃=α₂+α₃得(A—E)α₃=α₂．令k₁α₁+k₂α₂+k₃α₃=0，两边左乘以(A—E)得k₂α₁+k₃α₂=0，两边再左乘(A—E)得k₃α₁=0，由α₃≠0得k₃=0，代入2)得k₂α₁=0，则k₂=0，再代入1)得k₁α=₁0，从而k₁=0，于是α₁,α₂,α₃线性无关．

解析

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考研数学三

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将函数f(x)＝－sinx／2＋1，x∈[0，π]，展开成正弦级数．
设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX=ax12+2x22-2x32+2bx1x3(b>0)，其中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12．利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵．
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