(13年)求曲线x3一xy+y3=1(x≥0，y≥0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离．

admin2018-07-27 70

问题 (13年)求曲线x³一xy+y³=1(x≥0，y≥0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离．

选项

答案设(x，y)为曲线上的点，目标函数为f(x，y)=x²+y²，构造拉格朗日函数 L(x，y，λ)=x²+y²+λ(x³一xy+y³一1)．令 [*]=2x+(3x²一y)λ=0① [*]=2y+(3y²一x)λ=0② [*]=x³一xy+y³一1=0③ 当x＞0，y＞0时,由①，②得[*]即3xy(y—x)=(x+y)(x一y)．得y=x，或3xy=一(x+y)(由于x＞0，y＞0，舍去)．将y=x代入③得2x³-x²一1=0，即(2x²+x+1)(x-1)=0，所以(1，1)为唯一可能的极值点，此时[*] 当x=0，y=1或x=1,y=0时[*] 故所求最长距离为[*]，最短距离为1．

解析

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