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设向量组α1，α2线性无关，α1，α2，β1线性相关，又非零向量β2与α1，α2正交，则下列结论正确的是( )．
设向量组α1，α2线性无关，α1，α2，β1线性相关，又非零向量β2与α1，α2正交，则下列结论正确的是( )．
admin
2022-12-09
47
问题
设向量组α
1
，α
2
线性无关，α
1
，α
2
，β
1
线性相关，又非零向量β
2
与α
1
，α
2
正交，则下列结论正确的是( )．
选项
A、向量组α
1
，α
2
，β
2
线性相关
B、向量组α
1
，α
2
，β
1
+kβ
2
线性无关
C、向量组α
1
，α
2
，β
1
+kβ
2
线性相关
D、向量组α
1
，α
2
，β
1
-β
2
线性无关
答案
D
解析
由α
1
，α
2
线性无关，且α
1
，α
2
，β
1
线性相关得β
1
可由向量组α
1
，α
2
线性表示；
令k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
β
2
=0，
由(β
2
，k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
β
2
)=0且β
2
与α
1
，α
2
正交得k
3
(β
2
，β
2
)=0，
再由β
2
≠0得(β
2
，β
2
)＞0，从而k
3
=0，
于是k
1
α
1
+k
2
α
2
=0，再由α
1
，α
2
线性无关得k
1
=k
2
=0，
即α
1
，α
2
，β
2
线性无关，故β
1
-β
2
不可由α
1
，α
2
线性表示，即α
1
，α
2
，β
1
-β
2
线性无关，应选(D)．
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考研数学三
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