设f(x)=∫0xarcsin(t-1)2dt，则∫01f(x)dx=________.

admin2022-12-09 25

问题设f(x)=∫₀^xarcsin(t-1)²dt，则∫₀¹f(x)dx=________.

选项

答案[*]

解析 ∫₀¹f(x)dx=xf(x)|₀¹-∫₀¹xarcsin(x-1)²dx
=f(1)-∫₀¹[1+(x-1)]arcsin(x-1)²dx
=-∫₀¹(x-1)arcsin(x-1)²d(x-1)
=-1/2∫₀¹arcsin(x-1)²d(x-1)²=-1/2∫₁⁰arcsinxdx=1/2∫₀¹arcsinxdx

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