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  3. 设A为n阶方阵，证明：r(A＋E)＋r(A－E)＝n的充要条件是A2＝E．

设A为n阶方阵，证明：r(A＋E)＋r(A－E)＝n的充要条件是A2＝E．

admin2016-03-16  30
问题 设A为n阶方阵，证明：r(A＋E)＋r(A－E)＝n的充要条件是A2＝E．
选项
答案本题主要考查矩阵秩的性质、特征向量的求法及矩阵的相似对角化，是一道有难度的综合题． 先证充分性：由A2＝E，得(A＋E)(A－E)＝0，从而 r(A＋E)＋r(A－E)≤n， 又r(A＋E)＋r(A－E)＝r(A＋E)＋r(E－A)≥r(2E)＝n． 所以r(A＋E)＋r(A－E)＝n． 再证必要性：设r(A＋E)＝r，则齐次线性方程组(－E－A)χ＝0有n－r个线性无关的解，设为α1，…，αn-r，即α1，…，αn-r是矩阵A属于特征值－1的n－r个线性无关的特征向量． 由r(A＋E)＋(A—E)＝n，知r(A－E)＝n－r，则齐次线性方程组(E－A)χ＝0有r个线性无关的解，设为αn-r+1，…，αn，即αn-r+1，αn，…，αn是矩阵A属于特征值1的r个线性无关的特征向量． 设P＝(α1，αn-r，αn-r+1，…，an)，由不同特征值的特征向量线性无关，知P可逆，且 [*]
解析
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考研数学二

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