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  3. 设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝aχ12＋2χ22＋2χ32＋2b1χ3(b＞0)，其中二次型的矩阵A的特征值的和为1，特征值的乘积为－12。 (Ⅰ)求a，b的值； (Ⅱ)利用正交变换将二次型化为标准形，并写出所作的正交变换和对应的正交矩阵

设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝aχ12＋2χ22＋2χ32＋2b1χ3(b＞0)，其中二次型的矩阵A的特征值的和为1，特征值的乘积为－12。 (Ⅰ)求a，b的值； (Ⅱ)利用正交变换将二次型化为标准形，并写出所作的正交变换和对应的正交矩阵

admin2017-11-30  53
问题 设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝aχ12＋2χ22＋2χ32＋2b1χ3(b＞0)，其中二次型的矩阵A的特征值的和为1，特征值的乘积为－12。
    (Ⅰ)求a，b的值；
    (Ⅱ)利用正交变换将二次型化为标准形，并写出所作的正交变换和对应的正交矩阵。
选项
答案(Ⅰ)二次型f对应的矩阵为A＝[*] 设A的特征值λ1，λ2，λ3满足题中所给条件，则 λ1＋λ2＋λ3＝a＋2－2＝1，λ1λ2λ3＝｜A｜＝－4a－2b2＝－12。 解得a＝1，b＝±2，已知b＞0，因此a＝1，b＝2。 (Ⅱ)由矩阵A的特征多项式 ｜λE－A｜＝[*] ＝(λ－2)(λ2＋λ－6) ＝(λ－2)2(λ＋3)。 解得A的三个特征值分别为2，2，－3。 由(2E－A)χ＝[*] 可求得属于特征值2的特征向量有两个，分别为ξ1＝(0，1，0)T，ξ2＝(2，0，1)T。 由(－3E－A)χ＝[*] 可求得属于特征值－3的特征向量为ξ3(1，0，－2)T。 由于A的三个特征向量已经两两正交，因此只需要单位化，即 [*] 可得正交矩阵 Q＝(η1，η2，η3)＝[*] 令X＝Qy．则有 f＝χTAχ＝yTQTAQy＝[*] ＝2y12＋2y22－3y32
解析
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考研数学一

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