函数f(x)=x3+3ax-1，g(x)=f’(x)-ax-5，其中f’(x)是f(x)的导函数。设a=-m2，当实数m在什么范围内变化时，函数y=f(x)的图象与直线y=3只有一个公共点。

admin2016-01-31 73

问题函数f(x)=x³+3ax-1，g(x)=f’(x)-ax-5，其中f’(x)是f(x)的导函数。
设a=-m²，当实数m在什么范围内变化时，函数y=f(x)的图象与直线y=3只有一个公共点。

选项

答案f’(x)=3x²-3m² ①当m=0时，f(x)=x³-1的图象与直线y=3只有一个公共点； ②当m≠0时，列表： [*] ∴f(x)=f(｜x｜)=-2m²｜m｜-1＜-1 又∵f(x)的值域是R，且在(｜m｜，+∞)上单调递增 ∴当x＞｜m｜时函数y=f(x)的图象与直线y=3只有一个公共点。当x＜｜m｜时，恒有f(x)≤f(-｜m｜) 由题意得f(-｜m｜)＜3 即2m²｜m｜-1—2｜m｜³-1＜3 解得m∈(-[*] 综上，m的取值范围是(-[*]

解析

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函数f(x)=x3+3ax-1，g(x)=f’(x)-ax-5，其中f’(x)是f(x)的导函数。设a=-m2，当实数m在什么范围内变化时，函数y=f(x)的图象与直线y=3只有一个公共点。

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